数列の和をNを用いて表す方法と考え方

この問題では、与えられた数列{a_n}の和をNを使って表現する方法を求めています。具体的には、数列の項がどのように増加し、また減少するかを理解することが鍵となります。以下に、数列の定義とその計算方法についてわかりやすく解説していきます。

数列{a_n}の定義

この数列は以下のように定義されています。

ここで、数列の初項a_1が1であることから始まり、次の項が増加していきます。しかし、Nの値によって数列が減少に転じる部分が存在するので、計算を進める際に注意が必要です。

まず、数列の最初の部分を見てみましょう。n < Nのとき、各項は3ずつ増加します。したがって、a_nは次のように表すことができます。

a_n = 1 + 3(n-1) = 3n – 2

次に、n >= Nの場合です。この場合、数列の項がNを超えると、次の項は前の項からNを引いた値になります。これを使って数列の計算を続けます。

この数列はNの値によって場合分けされるため、Nを三の倍数で分けて考える必要があります。例えば、N = 3m – 2のように考えることができます。このとき、a_mは次のように求めることができます。

a_m = 3m – 2

また、a_nがNを超えた場合、次の式を用いて数列を減少させることができます。

この問題の目標は、Σ[k=1→N+3]a(k)をNを用いて表すことです。この和を求めるためには、まず数列の各項を理解し、それぞれの項に適切な値を代入していきます。計算の途中で場合分けを行い、数列が増加している部分と減少している部分に分けて計算を進めることが重要です。

この問題では、数列の定義を理解した上で、場合分けによって増加と減少の部分を適切に計算することが求められます。具体的な計算を進める際に、数列の一般項をしっかりと求め、その上で求められた項を使って和を計算する方法を理解することがポイントです。