高校数学：三角関数の問題『cos2θ + sinθ > 1』の解法とsinθの範囲について

今回は、高校数学の三角関数の問題について解説します。問題は「cos2θ + sinθ > 1」という式が与えられた場合、sinθの範囲が0 < sinθ < 1/2になる理由を考えます。

1. 問題の整理

与えられた不等式は以下の通りです。

cos2θ + sinθ > 1

この不等式を解くためには、まずcos2θをsinθを使った式に変形する必要があります。三角関数の基本的な恒等式を使って、この問題を解いていきます。

2. cos2θの変形

cos2θは三角関数の加法定理を使って、sinθを使った式に変換できます。

cos2θ = 1 – 2sin²θ

これを元の不等式に代入してみましょう。

1 – 2sin²θ + sinθ > 1

両辺から1を引きます。

-2sin²θ + sinθ > 0

3. 不等式の解法

次に、この不等式を解くために、左辺を因数分解します。

sinθ( -2sinθ + 1 ) > 0

この不等式を解くには、sinθと( -2sinθ + 1 )の符号を考えます。

4. sinθの範囲の求め方

sinθ > 0 かつ -2sinθ + 1 > 0 の2つの条件を満たす必要があります。まず、sinθ > 0 から、θは0 < θ < πの範囲にあります。

次に、-2sinθ + 1 > 0 を解くと、sinθ < 1/2 という条件が得られます。これにより、sinθの範囲は0 < sinθ < 1/2となります。

5. 結論

この問題を解くことで、sinθが0 < sinθ < 1/2の範囲にあることがわかりました。この範囲が成立する理由は、三角関数の基本的な性質を理解し、式を変形することで求めることができました。

6. まとめ

三角関数の問題では、基本的な恒等式を利用して式を整理し、符号を考えながら解くことが重要です。今回の問題も、この方法で解くことができました。数学の問題を解く過程で、より多くの基本的な知識を活用することが求められます。