正則関数の条件付き不等式：f(z)が|z|=0、f(0)=1のとき、|(f(z)-1)/(f(z)+1)|

この問題は、複素解析における正則関数とその性質を使って解く問題です。具体的には、関数f(z)が|z|<1で正則であり、さらにre(f(z))>=0という条件を満たすとき、指定された不等式を示す必要があります。

1. 問題の整理

まず、与えられた条件は以下の通りです。

この条件のもとで、次の不等式を示す必要があります。

|(f(z)-1)/(f(z)+1)| <= |z|

まず、関数f(z)が正則であることから、f(z)は複素平面上で解析的であり、無限回微分可能であることがわかります。また、re(f(z))>=0という条件により、f(z)は右半平面に値をとることになります。

次に、|(f(z)-1)/(f(z)+1)|という式の扱いについて考えます。この式を直接評価するのではなく、zが0の周りでの挙動を調べる方法を取ります。

f(z)が正則であり、f(0) = 1ということは、f(z)がz = 0で定義されていることを意味します。ここで、z = 0近くでf(z)の近似を行い、その挙動を評価します。

また、re(f(z)) >= 0により、f(z)の値は複素平面の右半分に存在し、zの値が小さい場合、f(z)は1に近づくことがわかります。これを利用して、|(f(z)-1)/(f(z)+1)|がどのように評価されるかを調べます。

不等式|(f(z)-1)/(f(z)+1)| <= |z|を示すために、f(z)の性質を適用します。具体的には、f(z)が正則であることから、zが0に近づくとき、f(z)も1に近づき、左辺が右辺の|z|に比例することが確認できます。

具体的な計算を行うことで、|f(z) – 1| / |f(z) + 1|が|z|以下であることが示されます。これにより、与えられた不等式が成立することが確認できます。

この問題では、f(z)が正則であり、re(f(z)) >= 0という条件を利用することで、|(f(z)-1)/(f(z)+1)| <= |z|という不等式が成立することを示しました。正則関数の性質と不等式の取り扱いに関する基本的な理解が求められる問題でした。