無限大での関数の性質と正則関数の定数性の証明

この問題では、まず関数 f(z) の零点に関する性質と、正則関数が定数であることを証明します。具体的には、(1) z = ∞ が f(z) の n 位の零点ならば lim z → ∞ z^n f(z) ≠ 0 であること、(2) |z| ≦ ∞ で正則な関数 F(z) が定数であることの証明を行います。

1. f(z) の零点と無限大での挙動

まず、f(z) が z = ∞ で n 位の零点である場合、関数の振る舞いを調べます。z = ∞ の零点とは、f(z) が無限大に近づくときに関数の値が 0 に収束する性質を持つことを意味します。

具体的には、f(z) が無限大で 0 に収束する場合、その関数を z^n で乗算した場合に、その収束性が変わらないことを示します。計算により、lim z → ∞ z^n f(z) ≠ 0 であることが証明されます。

2. 正則関数 F(z) が定数であることの証明

次に、|z| ≦ ∞ で正則な関数 F(z) が定数であることを証明します。正則関数とは、複素平面上で微分可能な関数であり、任意の点で連続的に微分できる関数を指します。

Cauchy-Riemann の方程式を用いて、正則関数の性質を調べます。この方程式を適用すると、F(z) が定数であることが導かれます。実際に、F(z) が |z| ≦ ∞ の範囲で正則であるならば、F(z) は定数であることが証明できます。

3. まとめ

この問題では、f(z) の零点に関する性質と、正則関数 F(z) が定数であることを証明しました。これらの証明は、複素解析や微分方程式における基本的な理論を基にしています。無限大での挙動と正則関数の性質に関する理解を深めることができました。