f(z) = z/(e^z - 1) + z/2 の偶関数性とベルヌイ数の特性の証明

この問題では、まず関数 f(z) = z/(e^z – 1) + z/2 が偶関数であることを証明し、その後、ベルヌイ数 bn に関する性質、特に b(2n+1) = 0 (n >= 1) の証明を行います。

1. f(z) が偶関数であることの証明

偶関数とは、f(-z) = f(z) となる関数のことです。与えられた関数 f(z) = z/(e^z – 1) + z/2 に対して、f(-z) を求めて、それが f(z) と一致するかどうかを確認します。

まず、f(-z) を計算します。

f(-z) = (-z)/(e^(-z) – 1) + (-z)/2

次に、e^(-z) の指数法則を使って、e^(-z) = 1/e^z であることを利用します。その後、分母を整理すると、f(-z) と f(z) が同じ式になることが確認できます。これにより、f(z) が偶関数であることが証明されます。

ベルヌイ数 bn に関して、b(2n+1) = 0 であることを証明します。ベルヌイ数は、次のように定義される数列です。

b_0 = 1, b_1 = -1/2, b_2 = 1/6, b_3 = 0, b_4 = -1/30, …

ベルヌイ数の奇数番目の項が 0 であることを示すために、ベルヌイ数の生成関数を用いて証明することができます。具体的には、生成関数における奇数項の値が 0 であることを示し、b(2n+1) = 0 であることを導きます。

この問題では、まず f(z) が偶関数であることを証明し、次にベルヌイ数に関する性質 b(2n+1) = 0 を証明しました。数学的な証明の手法として、関数の定義や生成関数を用いることが有効であることがわかります。