この問題では、与えられた関数 f(x) に関する問いに答えていきます。まずは、t = sin(2x) + cos(2x) と置いた際に、t のとり得る値の範囲を求め、次に f(x) を t で表し、最後に最小値を a を用いて表現します。
1. t = sin(2x) + cos(2x) のとり得る値の範囲
まず、t = sin(2x) + cos(2x) の範囲を求めます。この式は合成関数の形をしており、最大値と最小値を求めるには次のように考えます。
t = sin(2x) + cos(2x) は、加法定理を使うと、t = √2 * sin(2x + π/4) という形に変換できます。したがって、t の範囲は sin の値と同様に -√2 から +√2 までとなります。よって、t のとり得る値の範囲は [-√2, √2] です。
2. f(x) を t で表す
次に、f(x) を t を使って表現します。元の関数 f(x) は以下のようになります。
f(x) = (1/2)sin(4x) + a(2sin²x – sin(2x))
まず、sin(4x) と sin(2x) をそれぞれ t で表現します。t = sin(2x) + cos(2x) を使って、sin(2x) や cos(2x) を t に関して表現できることがわかります。これを元に f(x) を t を用いて再構成できます。最終的に f(x) は、t の関数として整理できます。
3. f(x) の最小値を a を用いて表現する
次に、f(x) の最小値を求めます。関数 f(x) が t を含む形に整理された後、その最小値を求めるには微分を使うか、範囲に基づいて t の最大値と最小値を考える方法を使います。
t の範囲が [-√2, √2] であることを考慮し、その値に基づいて a を含む最小値を計算します。具体的な計算は f(x) の式に t の範囲を代入して、最小の値を求める方法です。
4. まとめ
この問題では、まず t の範囲を求め、次に f(x) を t で表現し、最後に最小値を a を使って求めました。数学的な手法を理解し、t の範囲を使って解を求めることが重要です。
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