微分を学ぶ上で、関数の接線を求める問題は非常に重要です。本記事では、y=x³+x²−5x+2という関数における点(0,3)を通る接線の方程式の求め方について詳しく解説します。接線を求めるためには、微分を使って関数の傾きを求め、その傾きを元に接線の方程式を導出する必要があります。では、早速その手順を見ていきましょう。
1. 関数の微分を求める
最初に、与えられた関数y=x³+x²−5x+2の微分を計算します。微分とは、関数の瞬時の変化率を表すもので、接線の傾きに相当します。
まず、関数y=x³+x²−5x+2を微分します。各項を順番に微分すると、以下のようになります。
dy/dx = 3x² + 2x - 5
これが関数の導関数（微分）です。この微分によって、任意のxにおける接線の傾きを求めることができます。
2. 接線が通る点を代入する
次に、点(0,3)を通る接線を求めるために、まずx=0のときの傾きを求めます。先ほど求めた微分式dy/dx = 3x² + 2x – 5にx=0を代入します。
dy/dx = 3(0)² + 2(0) - 5 = -5
したがって、x=0での接線の傾きは-5です。この傾きは、接線の方程式において重要な役割を果たします。
3. 接線の方程式を求める
接線の方程式は、点(0,3)を通り、傾きが-5である直線の方程式を求めることで得られます。直線の方程式は一般的に次のように表されます。
y - y₁ = m(x - x₁)
ここで、mは傾き、(x₁, y₁)は点(0, 3)です。これを代入すると、接線の方程式は次のようになります。
y - 3 = -5(x - 0)
整理すると。
y = -5x + 3
これが点(0, 3)を通る接線の方程式です。
4. 結果の確認とまとめ
これで、y=x³+x²−5x+2のグラフ上で点(0, 3)を通る接線の方程式が求まりました。接線の方程式は、y = -5x + 3です。微分を用いて関数の接線を求める方法は、微積分の基本的なテクニックの一つです。接線の傾きは微分によって求められ、点を通る条件を使って具体的な方程式を導き出すことができます。
これで、微分を使って接線の方程式を求める方法について理解できたと思います。ぜひ実際に別の問題でも同じ手順を試してみてください。
まとめ
本記事では、y=x³+x²−5x+2という関数における点(0, 3)を通る接線の方程式を求める方法について解説しました。微分を使って関数の傾きを求め、その後に接線の方程式を導く流れを確認しました。この手法を身につけることで、微分を使った問題をより理解できるようになります。
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