今回は、高校数学の問題「2桁の3つの自然数14, A, B（A＜B）があり、この最大公約数は7で、最小公倍数は140である。自然数A, Bを求めなさい」という問題の解き方を解説します。
問題の整理
与えられた条件を整理しましょう。自然数AとBは、次の条件を満たします。
- 最大公約数（GCD）が7
- 最小公倍数（LCM）が140
- A＜B
これらの条件を満たすAとBを求めるためには、最大公約数と最小公倍数の関係を利用します。
最大公約数と最小公倍数の関係
最大公約数（GCD）と最小公倍数（LCM）には、次の関係式があります。
GCD(A, B) × LCM(A, B) = A × B
この式を使って、AとBを求めることができます。問題ではGCDが7、LCMが140と与えられているので、次の式が成立します。
7 × 140 = A × B
式を解く
7 × 140 = 980ですので、A × B = 980となります。
次に、AとBの最大公約数が7であることを考慮すると、AとBはそれぞれ7の倍数である必要があります。したがって、A = 7m、B = 7nとおけます。
これをA × B = 980に代入すると、次の式が得られます。
7m × 7n = 980 → 49mn = 980 → mn = 20
AとBを求める
mn = 20ですので、mとnの組み合わせを考えます。mとnが自然数であることを考慮すると、m = 4、n = 5が成立します。
したがって、A = 7 × 4 = 28、B = 7 × 5 = 35が求める解です。
まとめ
この問題は、最大公約数と最小公倍数の関係を利用して自然数AとBを求める問題でした。最大公約数と最小公倍数を結びつける公式を使い、適切な自然数の組み合わせを見つけることで、解を導くことができました。
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