(sinxcosx)'の導関数は1か？解説と理解の進め方

「(sinxcosx)’は1か？」という質問は、微分に関する基本的な疑問です。数学的な問題でよくあるように、式の微分の結果が1になるかどうかを疑問に思うことがあります。この疑問に答えるために、まず微分の基本的なルールを確認しましょう。

1. 微分の基本的なルール

微分とは、ある関数の変化の割合を求める操作です。例えば、関数f(x)が与えられたとき、その微分f'(x)は、xがわずかに変化したときにf(x)がどれだけ変化するかを示します。

「(sinxcosx)’」という式の微分を求めるためには、まず微分のルールを理解する必要があります。ここでは積の微分法則を使用します。

積の微分法則（積の法則）は、次のように表されます。

(u(x)v(x))’ = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

ここで、u(x)とv(x)はそれぞれの関数で、u'(x)とv'(x)はそれぞれの微分です。この法則を使って、sin(x)cos(x)の微分を計算することができます。

与えられた式「sin(x)cos(x)」に対して、積の微分法則を適用します。u(x) = sin(x)およびv(x) = cos(x)とおくと、次のように微分します。

(sin(x)cos(x))’ = (sin(x))'(cos(x)) + (sin(x))(cos(x))’

それぞれの微分を求めると、(sin(x))’ = cos(x)および(cos(x))’ = -sin(x)となるため、最終的に次の式になります。

(sin(x)cos(x))’ = cos(x)cos(x) – sin(x)sin(x)

これを整理すると、次のようになります。

(sin(x)cos(x))’ = cos(2x)

したがって、(sin(x)cos(x))’は1にはなりません。実際には、cos(2x)という式になります。最初の質問の「(sinxcosx)’は1ですか？」という疑問に対する答えは「NO」です。

このように、微分においては積の法則を使いこなすことが重要で、関数の微分を適切に計算するためには基本的なルールを理解し、適用することが大切です。

微分の計算を正確に行うためには、まず基本的な微分法則を理解することが重要です。積の法則を使うことで、複雑な関数の微分も簡単に解くことができます。

次に、さまざまな関数の微分方法を学び、練習問題を解くことで理解を深めていくことをお勧めします。