実数係数多項式の因数分解｜複素数を使わずに2次以下に分解する方法

実数係数の多項式が必ず2次以下の因数に分解できることを証明する方法は、複素数を使わずに自然に導くことが可能です。この記事では、実数係数多項式の因数分解に関する基本的な考え方を解説し、どのようにして複素数を使わずに2次以下の因数に分解するかを順を追って説明します。

実数係数多項式の基本的な特徴

まず、実数係数多項式の一般的な形は次のように表されます。

p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0

ここで、係数a_n, a_{n-1}, …, a_1, a_0はすべて実数です。多項式の根が実数である場合、それは因数分解できるという特徴を持ちます。問題となるのは、根が実数でない場合の因数分解です。

実数係数多項式が必ず2次以下の因数に分解できるという命題は、実数の代数方程式の解の性質に基づいています。2次方程式の解は必ず実数または複素数になりますが、実数係数の多項式において、複素数解を持つ場合でもそれは共役な複素数対として現れます。

このため、実数係数の多項式は、次のように2次以下の因数に分解することができます。

p(x) = (x – r1)(x – r2) … (x – rn)

ここで、r1, r2, …, rn は多項式の実数または共役な複素数解です。もし共役な複素数解を含む場合、その2つの解は2次式としてまとめることができます。

実数係数の多項式が必ず2次以下の因数に分解できることを示すためには、次のステップを踏みます。

例えば、次のような実数係数多項式を考えます。

p(x) = x^4 – 4x^2 + 3

この多項式を因数分解すると、次のように2次以下の因数に分解できます。

p(x) = (x^2 – 3)(x^2 – 1)

さらに、これらは以下のようにさらに因数分解できます。

p(x) = (x – √3)(x + √3)(x – 1)(x + 1)

実数係数の多項式は、必ず2次以下の因数に分解できます。実数解と共役な複素数解の性質を利用することで、複素数を使わずに因数分解を行うことができます。この理解を深めることで、多項式の因数分解をより簡単に行えるようになるでしょう。