7つの玉で作る腕輪の組み合わせ: 90通りの計算方法とその理由

腕輪を作るために7つの玉を並べる場合、その組み合わせをどのように計算すべきかは少し難しい問題です。特に、回転や裏返しが可能な場合、その計算方法に工夫が必要です。今回は、赤玉1個、青玉2個、黄玉2個、白玉2個を使って腕輪を作る際の組み合わせ計算について解説します。

問題の背景

腕輪を作るために、次の玉が与えられています：赤玉1個、青玉2個、黄玉2個、白玉2個の合計7個の玉です。この玉を糸に通して腕輪を作る際に、組み合わせは何通りあるのかが問題となります。

最初に計算すると、90通りの腕輪が作れることが分かります。しかし、この計算結果が出てから、質問者はその計算の途中で出てくる「6通りの一致」に関して疑問を持っています。それでは、この理由を詳しく見ていきましょう。

まず、腕輪の組み合わせを計算する際には、回転対称性と反転対称性を考慮する必要があります。これは、腕輪が回転したり、裏返されたりしても同じものと見なすためです。

組み合わせの数を求めるには、まず、与えられた7個の玉の順列を計算します。この場合、赤玉1個、青玉2個、黄玉2個、白玉2個なので、全体の順列数は次のように計算できます。

7! / (1!2!2!2!) = 90

ここで、7!は7個の玉を並べる順列で、各色ごとの玉数を分母で割って重複を除いています。これが90通りの組み合わせです。

次に、腕輪の組み合わせを計算する際に重要なのは「反転対称性」です。腕輪を裏返すことができるので、裏返した場合は同じ腕輪とみなされます。このため、反転した場合の重複を取り除く必要があります。

反転によって一致する組み合わせが6通りあります。これらの組み合わせは裏返しを考慮すると同じものと見なされ、重複として扱います。

ここで「+6する理由」について説明します。腕輪を作る際に、反転して一致する6通りの組み合わせを取り除くことで、最初に計算した90通りからその重複を引きます。しかし、この場合、すべての組み合わせが反転によって一致するわけではありません。

反転一致の6通りは、重複を除くために考慮する必要がありますが、これを足す理由は、反転による重複を取り除く前に、元々の計算式に含まれる反転による影響を修正するためです。

最終的に、反転の影響を考慮した組み合わせの数は次のように計算できます。

(90 - 6) / 2 = 42

これにより、最終的な組み合わせ数は48通りになります。つまり、反転対称性を考慮した結果、腕輪の組み合わせは48通りとなるのです。

この問題では、玉の順列を計算する際に、反転対称性を考慮することが重要であることが分かりました。最初に計算した90通りから、反転による重複を取り除くために6通りを加算し、最終的な組み合わせ数は48通りとなります。このように、組み合わせ問題では対称性の影響をしっかりと考慮することが大切です。