微分方程式の解法と積分の注意点：y' = 2xy の解き方

微分方程式 y’ = 2xy を解く際に、積分の手順に関する質問があります。この式を解くとき、積分の右辺が log|y| で表されるか、またその際の注意点について詳しく解説します。

微分方程式 y’ = 2xy の解法

まず、与えられた微分方程式 y’ = 2xy を解くために、両辺を y について積分します。これを積分可能な形に変換するため、まずは y を左辺に、x を右辺に移します。

y' = 2xy  →  (1/y) dy = 2x dx

次に、両辺を積分します。このとき、左辺は 1/y の形になるので、積分すると log|y| となります。右辺も 2x の積分を行い、x² になります。

左辺の積分は、確かに log|y| となりますが、注意が必要なのは、この積分の際に絶対値を取る点です。log|y| は y の絶対値を取ることを意味しており、y が負の場合も考慮されているため、必ず絶対値を付ける必要があります。

右辺は、2x を積分して x² となります。積分結果は以下のように表されます。

log|y| = x² + C

ここで C は積分定数です。最終的に、y を求めるためには、指数関数を使って式を解く必要があります。

質問にあったように、「1/y’ をかける必要がないのか？」という点についてですが、これはその通りです。1/y’ をかける必要はなく、y の導関数が y’ としてそのまま扱われるため、積分の過程で追加で何か操作をする必要はありません。

したがって、正しい解法では、y’ = 2xy を解くときに右辺の積分は log|y| となり、特に 1/y’ をかける必要はありません。

微分方程式 y’ = 2xy の解法において、右辺の積分は log|y| となり、特に1/y’ をかける必要はないことがわかりました。積分の際には絶対値を取ることに注意し、最終的に y の式を求めるには指数関数を用います。この解法の流れを理解することが、微分方程式の学習には重要です。