中学3年生の数学でよく出題される因数分解の問題について、今回は3つの問題を取り上げ、詳しく解説します。因数分解の方法を理解することは、式を簡単に解くために重要です。ここでは、具体的な問題を解きながら、因数分解の基本的な手順を学びましょう。
因数分解とは？
因数分解とは、式を掛け算の形に分解することです。例えば、「x²+5x+6」という式を因数分解すると、(x+2)(x+3)という形になります。因数分解を使うことで、方程式を解いたり、式を簡単にしたりすることができます。
では、次に実際の問題を見ていきましょう。
① x² + 16x – 36 の因数分解
この式は、まず「x²」の係数が1である二次式です。因数分解の手順は、定数項（-36）と係数（16）に注目して、2つの数を見つけることから始まります。具体的には、2つの数の積が-36、和が16になる数を見つけます。
積が-36、和が16になる数は「18」と「-2」です。これを使って因数分解を行うと、次のようになります。
x² + 16x - 36 = (x - 2)(x + 18)
したがって、答えは(x – 2)(x + 18)です。
② x² – 19x + 48 の因数分解
次に、x² – 19x + 48を因数分解します。今回は「x²」の係数が1、定数項が48です。同様に、積が48、和が-19になる2つの数を見つけます。
積が48、和が-19になる数は「-3」と「-16」です。この2つの数を使って因数分解をすると、次のようになります。
x² - 19x + 48 = (x - 3)(x - 16)
したがって、答えは(x – 3)(x – 16)です。
③ 49x² – 70xy + 25y² の因数分解
最後に、49x² – 70xy + 25y²という式を因数分解します。この式は、2つの変数xとyが含まれているので少し複雑ですが、基本的な方法は同じです。
まず、この式は平方の形をしています。具体的には、「49x²」は(7x)²、「25y²」は(5y)²です。次に、中間項「-70xy」を見ると、(7x)(5y)の2倍にあたります。これを利用して因数分解を行うと、次のようになります。
49x² - 70xy + 25y² = (7x - 5y)²
したがって、答えは(7x – 5y)²です。
因数分解のまとめ
今回紹介した3つの問題を通して、因数分解の基本的な流れを理解できたと思います。因数分解では、積と和を求めることが重要です。また、平方の形や2つの変数が含まれる問題でも、基本的な因数分解の手順を応用することで解くことができます。
因数分解は数学の基礎の中でも特に重要なスキルです。問題を解く際は、まず式をよく観察して、適切な因数を見つけることがポイントです。練習を重ねることで、より速く正確に解けるようになるでしょう。
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