数学の問題でよく出てくる接線の求め方について、特に「y = e^2xで点(1/2, e)で接する接線を求める問題」の解法を解説します。この問題では、接線の方程式を求めるために、微分を使って曲線の傾きを求め、そこから接線を導き出します。わかりやすく、ステップを追って説明しますので、どなたでも理解できるように解説します。
接線の定義と基本的な考え方
接線とは、曲線のある点でその曲線と接する直線のことです。この接線の傾きは、その点における曲線の微分係数（導関数）に一致します。接線の方程式は、点と傾きを知っていれば簡単に求めることができます。
この問題では、曲線 y = e^(2x) 上の点 (1/2, e) における接線を求めます。まず、微分を使って接線の傾きを求め、その後、点を通る直線の方程式を求めます。
微分を使って接線の傾きを求める
曲線 y = e^(2x) の接線の傾きは、その点における微分係数です。まず、y = e^(2x) を微分して、dy/dx を求めます。
dy/dx = d/dx [e^(2x)] = 2e^(2x)
この式から、y = e^(2x) の接線の傾きは、x = 1/2 のときに 2e^(2(1/2)) = 2e となることがわかります。
接線の方程式を求める
接線の方程式は、点 (1/2, e) と傾き 2e を使って、点と傾きから求めることができます。点 (x₁, y₁) と傾き m の直線の方程式は、次の形になります。
y - y₁ = m(x - x₁)
ここで、x₁ = 1/2、y₁ = e、m = 2e を代入すると、接線の方程式は次のようになります。
y - e = 2e(x - 1/2)
これを整理すると。
y = 2ex - e
したがって、接線の方程式は y = 2ex – e となります。
まとめとポイント
この問題を解くためには、まず微分を使って接線の傾きを求め、その後、接線の方程式を点と傾きを使って求めることが必要です。ポイントは、曲線の微分をしっかりと理解し、接線の方程式を求める際に点と傾きを正確に代入することです。
今回の問題を通して、接線の求め方の基本的な流れを学んだことと思います。この手法は、他の曲線でも同様に応用できますので、ぜひ他の問題でも実践してみてください。
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