無限に繰り返す球の出し入れ問題を解く: 箱の中のボールの数はどうなる？

数学の問題で「無限に繰り返す球の出し入れ」と聞くと、最初は不思議に思えるかもしれません。今回はそのような問題を取り上げ、どのように解けるかを分かりやすく解説します。

問題の概要

問題は次のようになります。最初に箱に10個のボールがあり、1個を取り出します。すると箱の中には9個のボールが残ります。次に、再び10個のボールを箱に追加し、1個取り出す。この作業を無限に繰り返すと、箱の中のボールの数はどうなるのでしょうか？

まずは、問題文に書かれている作業の流れをよく理解しましょう。最初に箱に10個のボールが入っており、そのうち1個を取り出します。すると、箱には9個のボールが残ります。

次に、箱に再び10個のボールを入れて1個を取り出します。箱の中にはまた9個のボールが残ることが分かります。つまり、この操作を繰り返すと、毎回箱の中のボールは9個で固定されることが分かります。

この問題で最も重要なのは、「無限に繰り返す」という点です。無限回繰り返すことで、ボールの数はどのように変化するのでしょうか？

最初に10個のボールを入れて1個を取り出し、箱に残るボールの数は9個となります。その後、毎回同じ操作を繰り返すため、箱の中のボールの数は常に9個に保たれることになります。

質問者が「ボールは9n個ずつ増えていっているので、少なくとも0になることはない」と考えるのは自然ですが、実際にはボールの数は増えません。なぜなら、ボールを取り出した後に再び10個のボールを追加しても、毎回取り出すボールの数が1個なので、箱の中に残るボールの数は9個のままで変化しないからです。

ですから、無限に繰り返しても箱の中に残るボールの数は9個のままであり、0にはならないことが分かります。

無限に繰り返す問題では、計算上の操作がどうしても直感と異なる結果を導くことがあります。特に、無限回操作を繰り返す場合、変化しない状態に到達することもよくあります。無限の概念を扱うときは、状態が変化しないことに気づくことが大切です。

今回の問題では、無限にボールを取り出して入れる操作を繰り返しても、箱の中に残るボールの数は常に9個であることが分かりました。この問題を通して、無限の操作において変化しない状態にどうしてもたどり着くことがあることを学びました。