高校数学：食塩水の濃度が1%未満になる回数の求め方

この問題では、食塩水の濃度が1%未満になる回数を求める問題です。10%の食塩水から10gを取り出し、10gの水を加える操作を繰り返すとき、何回繰り返したら濃度が1%未満になるのかを解きます。

問題の整理

問題文に与えられた情報を整理しましょう。最初にある食塩水は100gで、濃度は10%です。つまり、食塩は10gです。毎回、10gを取り出して10gの水を加えます。この操作が何回続くと濃度が1%未満になるのかを求めます。

最初の濃度は10%です。毎回、食塩水から10g取り出すと、食塩の量も減りますが、水の量は増えます。したがって、濃度はどんどん低くなります。

まず、濃度を式で表しましょう。初めの濃度は10%なので、食塩の量は10gです。毎回10gを取り出し、さらに10gの水を加える操作を繰り返すため、食塩の量は次のように減少します。

食塩の量 = 10 × (1 – 1/10)^n

食塩の量が1%未満になるのは、食塩の量が1g未満になる時です。つまり、次の条件を満たすnを求めます。

10 × (1 – 1/10)^n < 1

(1 – 1/10)^n < 0.1

ここで、log10底3 = 0.4771を使用して、nを計算します。

log10((1 – 1/10)^n) < log10(0.1)

n × log10(1 – 1/10) < -1

n × log10(0.9) < -1

n > -1 / log10(0.9)

log10(0.9)は約-0.0457575ですので、次のように計算します。

n > -1 / (-0.0457575) ≈ 21.85

したがって、nは22回以上繰り返す必要があるということです。

この問題は、濃度が1%未満になる回数を求める問題でした。食塩水の濃度がどのように変化するのかを理解し、式を立てて計算することで、繰り返し回数を求めることができます。このような問題では、与えられた情報をしっかり整理し、適切な計算を行うことが重要です。