整数x, y, zがx^2 + y^2 = z^2を満たすときの証明：積xyが4の倍数になる理由

整数x, y, zがピタゴラス数のようにx^2 + y^2 = z^2を満たすとき、xとyのうち少なくとも一方は偶数であり、積xyは4の倍数であることを示すことが求められています。本記事では、これらの問題を解決するための手順と、特にyが奇数の場合にどうして解けないのか、またその理由についても詳しく解説します。

問題の概要と目標

与えられた整数x, y, zに対して、x^2 + y^2 = z^2を満たす場合に、(1) 少なくともxまたはyの一方が偶数であることを示すことが必要です。(2) また、積xyが4の倍数であることを示すことも求められています。

この問題は整数論における基本的な問題であり、特にピタゴラス数に関連する証明問題の一つです。まず、(1)の問題を解くために、整数xとyの性質を詳しく検討していきます。

積xyのうち、少なくとも一方は偶数である理由

整数x, y, zがx^2 + y^2 = z^2を満たすとき、(1)ではxまたはyが偶数であることを示す必要があります。まず、xとyが両方とも奇数である場合を考えます。

もしxとyが両方とも奇数ならば、x^2とy^2はどちらも奇数になります。したがって、x^2 + y^2の結果は必ず偶数になりますが、z^2は偶数でなければならないため、xまたはyの少なくとも一方は偶数であることがわかります。

積xyが4の倍数であることを示す方法

次に、積xyが4の倍数であることを示すために、xを2kと仮定してyが偶数のときと奇数のときで場合分けして考えます。

まず、x = 2kと仮定します。yが偶数であれば、y = 2mとおけるので、xy = 2k * 2m = 4kmとなり、明らかに4の倍数になります。

次に、yが奇数のときについて考えます。yが奇数であれば、y = 2l – 1とおけますが、ここでxy = 2k * (2l – 1) = 4kl – 2kとなり、この式は4の倍数にはなりません。

yが奇数のときに解けない理由

yが奇数の場合に、xy = 4(kl – 1/2)とした式が解けない理由について説明します。この式は、整数kとlに対して1/2の項を含んでしまうため、整数の値として成り立ちません。つまり、xyが4の倍数になるためには、1/2という小数項を含まない整数の式で表される必要があります。

したがって、yが奇数の場合に解けない理由は、整数で表せない項が含まれているためです。

まとめ

整数x, y, zがx^2 + y^2 = z^2を満たすとき、(1)ではxまたはyが偶数であることを示し、(2)では積xyが4の倍数であることを証明しました。yが奇数の場合に解けない理由は、1/2という小数項が含まれてしまうためです。このような問題を解く際は、整数性を保つことが重要であることを理解しましょう。