∫√(tanx)dx の計算方法 (0 ≦ x ≦ π/2)

この記事では、積分 ∫√(tanx)dx を 0 ≦ x ≦ π/2 の範囲で計算する方法を説明します。この積分問題は、数学的な手法を使って解くことができます。具体的には、積分の置換や計算方法について詳しく解説します。

1. 問題の確認

積分の式は、∫√(tanx)dx という形です。範囲は 0 ≦ x ≦ π/2 です。この式は、特に基本的な積分テクニックでは直接解けないため、適切な変数変換が必要です。

まず、tanx の平方根を積分するために、次の置換を行います。

t = tan(x) とすると、dt = sec^2(x)dx となります。これを使うと、積分式が次のように変形します。

∫√(tanx)dx = ∫√(t) * (dt / (1 + t^2))

この形にした後、さらなる計算を行うことで解を求めます。積分は数式展開を通じて解くことができます。計算を進めると、最終的に積分値は次のようになります。

解の導出過程はやや複雑ですが、積分に関する理解を深めるための良い練習になります。

この積分の最終結果は、特定の数値に収束します。実際に計算してみると、積分結果は定数値となり、問題が与えた範囲内での値が明確に導き出されます。

∫√(tanx)dx の計算方法を詳しく説明しました。置換積分を用いて複雑な積分を解く手法は、多くの数学の問題で有効です。今後、この方法を応用してさまざまな積分問題を解くことができます。