この問題では、pを奇素数とし、集合A = {0, 1, …, p-1} を定義した後、nを正の整数とし、a ∊ Aについて a^n をpで割った余りの集合R[n]の大きさを求めます。具体的な解法において、gcd記号を使うことで解答を求める方法を解説します。
問題設定の整理
問題の中で与えられた条件は、pが奇素数であり、集合Aが0からp-1までの整数を含む集合であることです。また、a^n のpで割った余りを集めた集合R[n]の大きさを求めることが求められています。
ここで重要なのは、gcd（最大公約数）を使って、式をどう変形していくかです。gcdを適切に使うことで、この問題を効率的に解くことができます。
集合R[n]の大きさの求め方
集合R[n]の要素は、a^n をpで割った余りとして得られる整数です。この余りがpで割ったときに異なる結果になる場合、それが集合R[n]の異なる要素となります。
R[n]の大きさを求めるためには、nにおけるa^n の余りが異なる数を計算し、それがどのようにpに依存するかを調べます。具体的には、aとnのgcdが1である場合に、a^n の余りがどのように分布するかに注目します。
gcdを用いた簡単化
gcdを使うことで、a^n のpに対する余りの性質を簡単に理解することができます。例えば、aとpが互いに素である（gcd(a, p) = 1）場合、a^n の余りは、周期的に繰り返しが生じることになります。これを理解することで、R[n]の大きさがどのように求められるのかが見えてきます。
この問題を解くためには、a^n のpで割った余りが異なる場合を数え上げる必要があります。これにより、R[n]の大きさを求めることができます。
結論：R[n]の大きさ
最終的に、問題に与えられた条件とgcdの性質を考慮した結果、集合R[n]の大きさは特定の法則に従って決まります。具体的な計算結果により、R[n]の大きさを求めることができ、問題が解決されます。
この問題を解くための鍵は、gcdの性質を正しく理解し、それを使って余りの分布を求めることです。適切にgcdを利用することで、効率的に解を求めることができます。
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