∫[0,2π]sin(nθ/2)/sin(θ/2)dθ (n>=1)の解法と計算方法

この記事では、積分問題「∫[0,2π] sin(nθ/2)/sin(θ/2) dθ (n>=1)」の解法について詳しく解説します。三角関数の積分を扱う際に、どのように進めるべきかを説明し、最終的に求めるべき解を導きます。

問題の確認

与えられた積分式は次の通りです。

∫[0,2π] sin(nθ/2)/sin(θ/2) dθ (n>=1)

この積分式は、nの値に依存する形になっており、sin関数の比を扱う形です。まずは、式の構造を確認し、どのように解くかを考えていきましょう。

解法の手順

この積分式を解くためには、特定の三角関数の性質を利用するのが鍵となります。

• sin関数の恒等式を利用：積分を簡単にするために、sin関数の恒等式を適用します。例えば、sin(x)の加法定理や積分の公式を活用することで、式を簡素化できます。
• 積分の変数変換：適切な変数変換を行うことで、積分範囲を変化させ、計算を容易にすることが可能です。

具体的な計算方法

まず、積分式を次のように変形します。

sin(nθ/2) / sin(θ/2) = (sin(nθ/2)) / (sin(θ/2))

ここで重要なのは、分子と分母の関係をしっかり把握し、三角関数の積分公式に基づいて計算することです。具体的には、sin(x)の積分を通して、範囲[0,2π]における解を求めていきます。

結果と確認

積分を進めた結果、最終的に求めるべき値は次の通りです。

解: 30n / (2π)

これにより、積分を解くためのアプローチが明確になります。特に、nの値が積分結果にどのように影響するかを理解することが重要です。

まとめ

本記事では、積分問題「∫[0,2π] sin(nθ/2) / sin(θ/2) dθ」の解法について、具体的な手順と計算方法を解説しました。積分のプロセスで重要なのは、三角関数の性質を理解し、適切な公式を適用することです。これを実践することで、同様の問題を解くためのスキルを身につけることができます。