赤と白の玉を2つのバッグに分ける問題で、最も白い玉を引ける方法について解説します。問題文に書かれている通り、赤と白の玉がそれぞれ10個ずつあり、2つのバッグにすべての玉を入れた後、どちらかのバッグを選んで玉を引くという状況です。白い玉を引く確率を最大化するためには、どのように玉を分けるべきかについて考えてみましょう。
問題の要点と目標
問題の要点は、赤と白の玉を2つのバッグに分け、どちらかのバッグを選んで玉を引くことです。そして、最も白い玉を引く確率を高める方法を探すことが目標となります。
直感的に、赤と白の玉を均等に分けることが考えられますが、最適な方法について考えるためには、引きやすさにどのような影響を与えるかを理解することが必要です。
最適な分け方：白い玉を一つだけ別のバッグに
最適な分け方は、片方のバッグに白い玉を1つだけ入れて、もう片方のバッグに残りの9個の白い玉と10個の赤い玉を全て入れる方法です。
この分け方を選ぶ理由は、片方のバッグに白い玉が1つしか入っていないため、そのバッグを選んだ場合、白い玉を引く確率が100%になります。一方、もう片方のバッグには残りの9個の白い玉と赤い玉が入っているので、そこから玉を引いた場合、白い玉を引く確率は10個のうち9個なので、90%となります。
確率の最大化
この方法による確率を計算してみましょう。2つのバッグを選ぶ確率はそれぞれ50%です。よって、白い玉を引く確率は次のように計算できます。
- バッグ1（1個の白い玉）の場合：100%（確実に白い玉を引く）
- バッグ2（9個の白い玉と10個の赤い玉）の場合：9/19 = 47.37%
したがって、全体の白い玉を引く確率は、(1/2 * 1) + (1/2 * 9/19) = 50% + 23.68% = 73.68%です。
他の分け方との比較
もし赤と白の玉を均等に分ける、つまり1つのバッグに5個の白い玉と5個の赤い玉を入れた場合、そのバッグを選んだ場合の白い玉を引く確率は5/10 = 50%になります。残りのバッグでも同じ確率です。
この場合、全体の確率は(1/2 * 5/10) + (1/2 * 5/10) = 50%となり、最適な方法に比べて確実に低くなります。
まとめ：白い玉を引く確率を最大化する分け方
最も白い玉を引ける方法は、片方のバッグに1つだけ白い玉を入れ、もう片方のバッグに残りの白い玉と赤い玉を入れることです。この方法では、片方のバッグで白い玉を確実に引けるという利点があり、全体として白い玉を引く確率を最大化することができます。
このように、問題を解く際には直感だけでなく、確率計算を通じて最適な分け方を見つけることが重要です。
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