数列に関する疑問の中でも、等比数列の公比を確認することは基本的な理解を深めるために非常に重要です。特に、数列の式が等比数列かどうかを見極めるためには、一般項の形や公比が一定であるかどうかを確認することが求められます。本記事では、質問にある数列「1 + {1 – (1/3)^(n-1)}」が等比数列であるかどうかについて詳しく解説します。
等比数列の定義と特徴
等比数列とは、隣接する項の比が一定である数列のことを指します。この比を「公比」と呼びます。一般的に、等比数列の第n項は以下の式で表されます。
a_n = a_0 × r^(n-1)
ここで、a_0は初項、rは公比、nは項数です。等比数列の特徴は、公比rが全ての項で一定であり、隣接する項の比が常に同じであることです。
質問の数列の確認
質問にある数列「1 + {1 – (1/3)^(n-1)}」を確認してみましょう。この数列は、n項目に対して次のような式になります。
a_n = 1 + (1 – (1/3)^(n-1))
ここで、(1/3)^(n-1)という項が登場しています。この部分が等比数列の公比rに関連しているかどうかを見極めることがポイントです。
公比が1/3である理由
数列の各項が等比数列であるためには、公比が一定でなければなりません。ここで、(1/3)^(n-1)の項を分解してみると、(1/3)が公比であり、nの値によってその累乗が変化します。
そのため、この数列は確かに公比が1/3の等比数列となります。初項から始めて、各項が(1/3)を乗じることにより次の項を得るという、等比数列の特徴を持っています。
等比数列としての確認方法
この数列が等比数列であることを確認するためには、隣接する項の比を取ってみると良いでしょう。具体的には、次の項と前の項を割った値が常に1/3であれば、その数列は等比数列です。
例えば、a_2 / a_1, a_3 / a_2を計算すると、常に1/3という結果になります。これにより、数列「1 + {1 – (1/3)^(n-1)}」が公比1/3の等比数列であることが確認できます。
まとめ：等比数列の理解と確認方法
数列「1 + {1 – (1/3)^(n-1)}」は、公比1/3の等比数列です。等比数列の特徴は、公比が一定であり、隣接する項の比が常に同じであることです。質問の数列もこの特徴を満たしているため、等比数列と判断できます。
等比数列の理解を深めるためには、公比が一定であることを確認し、隣接項の比が一定であることを確かめることが大切です。これにより、さまざまな数列を理解し、数学の問題に活用できるようになります。
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