f(z) = 1/(sinz)^2 の z = nπ における留数の求め方

本記事では、複素関数 f(z) = 1/(sinz)^2 の留数を、特に z = nπ で求める方法について解説します。留数計算は、複素解析における重要な技術であり、特に有理型関数や三角関数が関わる問題において非常に役立ちます。

1. 留数とは？

留数とは、複素関数がある点でどれくらい特異性を持っているかを表す値です。特に、積分においてコンター積分を使用する際に留数定理を活用することが多いです。留数定理により、閉曲線に沿った積分が、特異点の周りでの留数の和に関係していることがわかります。

f(z) = 1/(sinz)^2 の関数には、z = nπ (n は整数) の点で特異点があります。これらの点で sinz がゼロになり、関数が発散します。したがって、これらの点で留数を求める必要があります。

まず、sinz のテイラー展開を利用し、z = nπ 付近での近似式を求めます。sinz は z = nπ でゼロになるため、近似式は sin(z) ≈ (z – nπ)cos(nπ) です。よって、sinz^2 は (z – nπ)^2 で近似されます。

次に、f(z) = 1/(sinz)^2 を使って、z = nπ における留数を求めることができます。留数は、(z – nπ) の1次の項の係数として求めることができます。この場合、計算により、留数は -1/(nπ)^2 になります。

したがって、f(z) = 1/(sinz)^2 の関数における z = nπ における留数は、次のように計算されます：
留数 = -1/(nπ)^2 です。

留数の求め方は、複素解析の基本的な技法であり、特異点の性質を理解することが重要です。sinz のような三角関数が含まれる場合でも、テイラー展開を用いることで簡単に留数を計算できます。複素関数の留数を求める技術は、積分や解析において非常に強力なツールとなります。