点Qが円上を動くとき、点Aとの中点Pの軌跡を求める方法

この問題では、円上を動く点Qと固定された点A(0,8)との中点Pの軌跡を求めます。円の方程式は x^2 + y^2 = 16 で、点Qがこの円上を動くとき、点Aと点Qを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡を計算する方法について解説します。

1. 円の方程式と点Qの座標の設定

まず、円 x^2 + y^2 = 16 上の点Qの座標を設定します。円の半径は4であるため、Qの座標は (x, y) となります。これを直角座標系で表現すると、x = 4 * cos(θ) および y = 4 * sin(θ) となります。このθは0から2πの間で変化します。

したがって、点Qの座標は (4 * cos(θ), 4 * sin(θ)) であり、θが円周上を動くことで点Qが移動します。

次に、点A(0, 8) と点Q(4 * cos(θ), 4 * sin(θ)) を結ぶ線分AQの中点Pの座標を求めます。中点の座標は次の式で計算できます。

中点Pのx座標: P_x = (0 + 4 * cos(θ)) / 2 = 2 * cos(θ)

中点Pのy座標: P_y = (8 + 4 * sin(θ)) / 2 = 4 + 2 * sin(θ)

点Pの軌跡は、P_x と P_y を関係させた式で表現できます。P_x = 2 * cos(θ) および P_y = 4 + 2 * sin(θ) です。これらを使って、点Pの軌跡を求めるためには、x^2 + y^2 の形に変形します。

P_x^2 + P_y^2 = (2 * cos(θ))^2 + (4 + 2 * sin(θ))^2

計算すると、P_x^2 + P_y^2 = 4 * cos^2(θ) + (4 + 2 * sin(θ))^2 となります。これを展開して整理すると、最終的に点Pの軌跡の方程式が得られます。

点Pの軌跡は、円の方程式に似た形をしており、P_x^2 + P_y^2 = 4 という形に収束します。つまり、点Pの軌跡は半径2の円となります。したがって、点A(0,8)と点Q(4 * cos(θ), 4 * sin(θ))を結ぶ中点Pは、半径2の円を描きながら動くことが分かります。

点Qが円上を動くとき、点Aとの中点Pの軌跡を求める問題では、円のパラメータ表示を使って中点の座標を計算し、その軌跡を求めることができます。この方法を使えば、さまざまな点の軌跡を簡単に求めることができ、問題解決のステップをしっかり理解することができます。