積分 ∫[0,2π] dθ / (1 - 2r cosθ + r^2)^2 の計算方法

この問題では、積分 ∫[0,2π] dθ / (1 – 2r cosθ + r^2)^2 を求める方法を解説します。積分の計算は複雑ですが、積分範囲と積分関数の特徴を理解することで効率的に解くことができます。

1. 問題の解説

与えられた積分は、変数 r に依存しており、積分の範囲は θ ∈ [0, 2π] です。まず、積分関数 (1 – 2r cosθ + r^2)^2 の形に注目します。この関数は三角関数と関連しているため、三角関数の積分テクニックを活用することが有効です。

積分関数 (1 – 2r cosθ + r^2)^2 を展開すると、次のような式になります：
(1 – 2r cosθ + r^2)^2 = 1 – 4r cosθ + 6r^2 – 4r^3 cosθ + r^4

このように展開することで、積分に含まれる項を個別に計算できます。特に、cosθ や cos2θ のような項が含まれるため、三角関数の積分を用いて計算を進めます。

この積分では、特に次のような三角関数の積分テクニックを使用します：
∫[0, 2π] cosθ dθ = 0
∫[0, 2π] cos^2θ dθ = π
これらのテクニックを用いて、個別の項ごとに積分を計算します。

積分の結果は、定数 r に依存する形で簡単に表現されます。最終的な解答は、積分を実行した後、適切な積分値を代入することで求めることができます。

最終的な結果は、与えられた積分式の形に応じて、r の範囲に対して積分を実行することで求められます。具体的な数値を求める場合、r の値を代入することで解が得られます。

この積分問題では、三角関数の積分技法を使って、与えられた積分式を解くことができました。特に、積分関数を展開することにより、個別に計算しやすくなりました。数学的な積分のテクニックを活用することで、複雑な積分問題も効率的に解くことができます。