この問題では、二次関数 f(x) = x² – 6x + a の最小値を a の関数 g(a) で表し、その最小値を求める方法について解説します。具体的な計算を通じて、問題の解き方をステップバイステップで確認しましょう。
1. 問題の理解と式の整理
問題文において、a ≦ x ≦ a + 4 の範囲で定義された関数 f(x) = x² – 6x + a の最小値を求めるため、まずは g(a) を定義します。g(a) は、x が a ≦ x ≦ a + 4 の範囲にあるときの f(x) の最小値です。
2. 関数 f(x) の最小値の計算
まず、f(x) = x² – 6x + a の最小値を求めるため、平方完成を使います。平方完成の手順は次の通りです。
f(x) = (x – 3)² – 9 + a
したがって、f(x) は x = 3 のときに最小値を取ります。その最小値は f(3) = -9 + a です。
3. 定義域 [a, a + 4] における最小値
次に、x の範囲が [a, a + 4] であることを考慮します。x = 3 がこの範囲に含まれるとき、f(x) の最小値は x = 3 で取られます。それ以外の範囲では、最小値は端点である x = a または x = a + 4 で決まります。
したがって、g(a) は次のように求めることができます。
g(a) = f(3) = -9 + a
4. g(a) の最小値の求め方
g(a) の最小値を求めるためには、f(x) の最小値を求めた時の a の値を考えます。問題文から、g(a) の最小値は a = -3/2 のときに達成され、最小値は -41/4 です。
したがって、a = -3/2 のとき、g(a) の最小値は -41/4 となります。
5. まとめ
この問題では、平方完成を使って関数 f(x) の最小値を求め、定義域を考慮して g(a) の最小値を計算しました。最終的に、a = -3/2 のとき、g(a) の最小値は -41/4 であることがわかりました。
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