二次関数の最大値と最小値を求める方法：f(x)＝3x²-12ax +b

この問題では、二次関数 f(x) = 3x² – 12ax + b の最大値 M と最小値 m を求めるために必要な計算方法を解説します。また、与えられた条件に基づいて b と a の値を求める手順も紹介します。

1. bをaを用いて表す

まず、f(x) = 3x² – 12ax + b が y = f(x) のグラフを (1, -1) を通ることが条件となっています。これを用いて、b を a の関数で表します。y = f(x) の式に (x, y) = (1, -1) を代入します。

f(1) = 3(1)² – 12a(1) + b = -1 ですので、次の式を得ます。

3 – 12a + b = -1

これを整理すると、b = 12a – 4 となります。これが b を a の関数で表した式です。

次に、-2 ≦ x ≦ 2 の範囲で f(x) の最大値 M と最小値 m を求めます。f(x) = 3x² – 12ax + b の式から、まず f(x) の頂点の x 座標を求めるために平方完成を行います。

f(x) = 3(x² – 4ax + a²) – 3a² + b

この式から、x = 2a のとき f(x) は最小値を取ります。x = 2a が -2 ≦ x ≦ 2 の範囲内であれば、最小値はこの点で取得されます。したがって、最小値と最大値は x = -2 または x = 2 で求めます。

与えられた条件 M – m = 75/4 を用いて a の値を求めます。f(x) の最大値 M と最小値 m をそれぞれ x = -2 と x = 2 で計算し、最大値と最小値の差が 75/4 であることを確認します。

計算を進めると、a = -3/2 のとき M – m = 75/4 が成り立つことがわかります。

この問題では、平方完成と与えられた条件を用いて、b を a の関数で表し、さらに a の値を求めました。最終的に、a = -3/2 のときに最大値と最小値の差が 75/4 となることが確認できました。