数学における凸の定義とその捉え方：上に凸山型、下に凸谷型について

「上に凸山型」や「下に凸谷型」という表現は、日常的な数学の授業でよく使われる言葉ですが、数学的な定義では少し異なる意味を持っています。実際、数学での凸の定義は「上に凸」と「下に凸」が逆の関係にあるのです。では、なぜこのように定義されているのか、そしてその違いはどこにあるのかを解説していきます。

1. 凸とは何か？

まず、凸の基本的な定義を確認しましょう。数学における「凸」というのは、ある関数が「凸関数」である場合、その関数のグラフが下に凸であると言います。これは、関数のグラフ上の任意の2点を結んだ線分が、その2点を含むグラフの上側にあることを意味します。

2. 凸と凹の関数グラフ

具体的に言うと、「上に凸山型」とは、ある関数が単調増加して、最高点（山の頂点）を過ぎた後に下降するような形をしています。逆に「下に凸谷型」は、最低点を過ぎた後に上昇するようなグラフ形状です。数学では、これらの「凸」「凹」の定義が厳密に決まっており、「上に凸」と「下に凸」の捉え方が逆であることに注意が必要です。

3. 上に凸と下に凸の逆転

数学的には、ある関数の「凸」とは、関数が上に凸か下に凸かを示すものですが、日常的な表現では、上に凸という言葉が「山型」を、下に凸が「谷型」を表す場合がよくあります。したがって、この2つは意味が逆転していると考えても良いのです。

4. 学習での注意点

数学の授業で「上に凸」と「下に凸」を使う際には、定義の違いを理解して、正確に使うことが重要です。特に関数のグラフの性質を考える時、この違いをしっかりと捉えて理解を深めることが求められます。

5. まとめ

数学的には、関数が「上に凸」と「下に凸」の意味が逆転していることがわかります。この定義を理解し、正しく使うことで、関数のグラフやその性質をより深く理解することができるでしょう。