二次関数の平行移動の解説：y = -x² のグラフの移動方法

二次関数 y = -x² のグラフを X 軸方向に 5、Y 軸方向に -1 だけ平行移動させる問題について、平行移動の概念とその具体的な解法を解説します。

1. 二次関数の基本的な形と平行移動

まず、二次関数 y = -x² は、原点を頂点とした下に開いた放物線を描きます。このグラフを平行移動させるには、関数の式を適切に変形する必要があります。X 軸方向や Y 軸方向の移動をどのように表現するのかを理解することがポイントです。

平行移動とは、グラフ全体を上下左右にずらす操作です。X 軸方向の平行移動は x の項に対する操作、Y 軸方向の平行移動は定数項に対する操作によって実現します。

2. X 軸方向に 5 の移動

X 軸方向の平行移動では、x の値を変更することでグラフを移動させます。具体的には、x の値を (x – a) と変形することで、a 単位だけ右に移動させることができます。ここでは、X 軸方向に 5 だけ移動させるため、x の代わりに (x – 5) を使います。

このため、y = -x² の式を平行移動後の形にすると、次のようになります。

y = -(x – 5)²

3. Y 軸方向に -1 の移動

次に、Y 軸方向に -1 だけ平行移動させます。Y 軸方向の平行移動は、関数の式の末尾に定数を加えることで実現します。ここでは、Y 軸方向に -1 移動させるため、y の値に -1 を加えます。

そのため、式は次のようになります。

y = -(x – 5)² – 1

4. 平行移動後のグラフの確認

平行移動後の式 y = -(x – 5)² – 1 は、元のグラフ y = -x² から X 軸方向に 5、Y 軸方向に -1 だけ移動した放物線の式です。これで、与えられた移動を正確に表現することができました。

5. まとめ

二次関数 y = -x² のグラフを X 軸方向に 5、Y 軸方向に -1 移動させると、最終的な式は y = -(x – 5)² – 1 になります。X 軸方向の平行移動は x の項を (x – a) に、Y 軸方向の平行移動は定数項を変更することで実現できます。このように、平行移動の理解は二次関数のグラフを扱う上で非常に重要です。