このページでは、2次方程式の問題における平方完成の方法と、その応用である最大値の求め方を解説します。特に、質問者が疑問に思っている「なぜa≠0の場合に平方完成を行うのか？」という点について詳しく説明します。
問題の確認
まず、問題は次のような式です。
y = a²x² – 2ax ( -1 ≦ x ≦ 1 )
この式において、aは定数であり、xは変数です。最大値を求めるためには、この式を適切に変形し、xの値がどの範囲で最大値を取るかを考察します。
平方完成の理由
質問者が言うように、「a≠0」の場合に平方完成を行う理由について解説します。
まず、aが0であれば、yの式は2次方程式ではなくなります。2次方程式は、x²の項が含まれる式において解を求めるために使います。もしa=0の場合、式は線形方程式（一次方程式）になり、最大値を求める方法が異なります。
また、a≠0の場合、平方完成を行うことで、式が簡単な形になります。この方法により、xの値がどこで最大になるかを計算しやすくなります。特に、2次関数の最大値や最小値は、平方完成をすることで頂点が明確になり、最大値を簡単に求めることができるのです。
平方完成を行った後の式
式を平方完成することで、次のような形になります。
y = a²(x – 1/a)² – 1
これにより、xがどの範囲で最大値を取るのかが明確にわかります。x = 1/aのとき、yは最小値を取ることがわかり、-1 ≦ x ≦ 1の範囲内で最大値を求めることができます。
最大値の求め方
最大値は、xの範囲内でyの値が最大になる点を見つけることによって求めます。平方完成後の式をもとに、xの値が-1から1の間でどこで最大となるかを確認します。
具体的には、xの値を-1と1に設定し、それぞれのyの値を計算することで最大値を特定します。
まとめ
2次方程式の最大値を求めるには、平方完成を用いることが有効です。a≠0の場合、平方完成をすることで式が簡単になり、最大値を効率よく求めることができます。この解法を使えば、xの範囲内での最大値が明確にわかり、他の類似問題にも応用することができます。
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