2次方程式の解に関する確率問題 - ガラスのカードセットと方程式の関係を解説

今回の問題では、カードセットA（0, 2, 4）とセットB（4, 8, 12）からカードを引き、その値を用いて2次方程式x² + ax – b = 0を考えます。以下では、この方程式に基づいて、解の確率や条件を求める方法を解説します。

問1: 2次方程式の解の絶対値が等しくなる確率

まず、2次方程式x² + ax – b = 0の解の公式を用いて解を求めます。解の公式は次のようになります。

x = (-a ± √(a² + 4b)) / 2

解の絶対値が等しいためには、±の部分で解が対称的である必要があります。つまり、解が実数であるための条件は、判別式（a² + 4b）が0であることです。このため、a² + 4b = 0を満たすaとbの組み合わせを探します。

この条件を満たす確率を計算するために、カードセットAからの選び方（0, 2, 4）とカードセットBからの選び方（4, 8, 12）を全組み合わせで検討し、条件に合う組み合わせを求めます。具体的な計算を行うと、解の絶対値が等しい場合の確率が求められます。

次に、2次方程式の解が整数である条件について考えます。解が整数になるためには、判別式（a² + 4b）が完全な平方数でなければなりません。つまり、√(a² + 4b)が整数である必要があります。

この条件を満たすaとbの組み合わせを探し、その組み合わせが何通りあるかを求めます。全ての組み合わせを検討し、解が整数となる確率を算出することができます。

最後に、解のうちのどちらかが2より大きく3より小さくなるa, bの組み合わせを求めます。解がこの範囲に収まるためには、解の公式を用いて条件を立て、aとbがその範囲に収まるような組み合わせを検討します。

具体的には、解が2より大きく3より小さいという条件を解の公式に代入し、その条件を満たすa, bの組み合わせを求めます。このようにして、条件に合う組み合わせをリストアップし、全組み合わせの中から必要なものを選び出すことができます。

この問題では、2次方程式の解に関するいくつかの確率を求める方法を学びました。解の絶対値が等しい確率、解が整数になる確率、解が特定の範囲に収まる確率など、数学的な手法を使って問題を解くことができます。全ての組み合わせを検討することで、確率を求めることができることを確認しました。