∫f'(x)=f(x) の積分における +C は必要か？

積分の基本的な性質に関する疑問である、「∫f'(x) = f(x) という積分において、+C は必要か？」という質問について解説します。ここでは、定積分と不定積分の違いを考えながら、+C が必要となる理由を説明します。

1. 定積分と不定積分の違い

まず、積分には大きく分けて「定積分」と「不定積分」があります。定積分では、積分区間が指定されており、その範囲内で積分を行います。不定積分は積分区間が指定されていないため、積分結果として定数項が生じます。この定数が「+C」になります。

具体的に言うと、不定積分の結果には常に「+C」が含まれます。これは積分が微分の逆操作であるため、微分後に定数項が消えてしまうため、積分結果としてその定数が復元される必要があるからです。

微分操作では定数項が消失しますが、逆に積分操作を行う際にはその定数項を考慮する必要があります。例えば、f'(x) = 2x という関数の不定積分を考えると、積分結果は f(x) = x² + C になります。

この定数「C」は、微分してもゼロになるため、どの値をとっても微分結果は同じになるのです。しかし、積分を行うときには、この定数の存在を無視することはできません。

具体例として、f'(x) = 2x を積分した場合を考えます。積分すると、f(x) = x² + C という結果になります。この時、C は任意の定数であり、初期条件や境界条件を与えない限り、C の値を特定することはできません。

もし定積分の場合、積分区間が指定されるので、結果として定数項 C は現れません。しかし不定積分の場合、積分の結果には必ず定数 C が含まれます。

結論として、「∫f'(x) = f(x)」という積分の結果には、必ず「+C」が必要です。これは不定積分の特性であり、積分操作を通じて微分によって消えた定数項を復元するために必須です。したがって、この場合「+C」は欠かせないものとなります。