y = sin(θ + π/6) + sin(θ + π/3) の最大値と最小値の求め方

この問題では、0 ≦ θ ≦ π の範囲で、y = sin(θ + π/6) + sin(θ + π/3) の最大値と最小値を求め、さらにそのときのθの値を求める方法を解説します。三角関数を使った問題であり、加法定理や合成関数の知識が役立ちます。

1. 問題の整理と三角関数の合成

まず、与えられた式 y = sin(θ + π/6) + sin(θ + π/3) を簡略化するために、三角関数の加法定理を用います。加法定理によれば、sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) という式を使って、式を展開できます。

この場合、次のように展開できます。

これにより、式を展開して簡略化します。

cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2, cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2 を代入すると、次のようになります。

y = sin(θ)(√3/2 + 1/2) + cos(θ)(1/2 + √3/2)

この式をさらに整理すると、y = (√3 + 1)/2 * sin(θ) + (1 + √3)/2 * cos(θ) となります。

次に、yを合成三角関数の形に変換します。一般的に、a sin(θ) + b cos(θ) の形は、R sin(θ + φ) の形に変換することができます。ここで、R は次のように求めます。

R = √(a² + b²)

ここで、a = (√3 + 1)/2, b = (1 + √3)/2 として計算します。

R = √((√3 + 1)²/4 + (1 + √3)²/4) = √(2 + 2√3) = 2

これにより、y = 2 sin(θ + φ) の形になります。

y = 2 sin(θ + φ) の最大値と最小値は、sin(θ + φ) の最大値と最小値に依存します。sin(θ + φ) の最大値は 1、最小値は -1 です。したがって、y の最大値と最小値は次のようになります。

そのため、y の最大値は 2、最小値は -2 です。

y の最大値が 2 となるのは、sin(θ + φ) = 1 のときです。これを満たすθの値は。

θ + φ = π/2 となるとき、つまり θ = π/2 – φ です。

また、y の最小値が -2 となるのは、sin(θ + φ) = -1 のときです。これを満たすθの値は。

θ + φ = 3π/2 となるとき、つまり θ = 3π/2 – φ です。

この問題では、与えられた式 y = sin(θ + π/6) + sin(θ + π/3) の最大値と最小値を求め、さらにそのときのθの値を求めました。結果として、最大値は 2、最小値は -2 であり、そのときのθの値はそれぞれ θ = π/2 – φ と θ = 3π/2 – φ です。