関数 f(x) = (ax + b) / (cx + d) の逆関数と条件について解説

この問題では、与えられた関数 f(x) = (ax + b) / (cx + d) に関して、逆関数を求め、その後逆関数と元の関数が一致するための条件を導出します。さらに、f(x) ≠ x となる条件を求めます。

1. 逆関数の求め方

まず、f(x) の逆関数を求めるために、f(x) = y と置き換えます。つまり、y = (ax + b) / (cx + d) となり、x に関する式に変形して逆関数を求めます。

次に、式を解くことで、x の値を y の関数として表現します。この結果得られる逆関数は次のようになります。

f^(-1)(x) = (dx – b) / (-cx + a)

次に、逆関数 f^(-1)(x) = f(x) が成り立つ条件を求めます。すなわち、f^(-1)(x) の式と f(x) の式を比較し、同じになるような条件を導きます。

逆関数 f^(-1)(x) と元の関数 f(x) が一致するためには、次の関係式が成立する必要があります。

dx – b = ax + b となる条件です。これにより、特定のa, b, c, dの関係式が得られます。

最後に、f(x) ≠ x が成り立つための条件を求めます。具体的には、x = (ax + b) / (cx + d) の式から、x = f(x) となる条件を解いていきます。

解の結果、x ≠ a / c の関係が導かれます。したがって、逆関数と元の関数が一致しないための条件は x ≠ a / c です。

この問題では、関数 f(x) の逆関数を求め、その逆関数と元の関数が一致するための条件、および f(x) ≠ x となる条件を導出しました。逆関数が元の関数と一致するための条件は、a, b, c, d の関係式に依存し、f(x) ≠ x の条件は x ≠ a / c となります。