この問題では、2次不等式 kx² + 2x – 3k + 4 > 0 を解き、定数kの範囲を求めます。問題の条件に従い、実数解が存在する範囲や解が存在しない範囲について具体的に計算していきます。
1. 問題の整理
与えられた不等式は、kx² + 2x – 3k + 4 > 0 です。この不等式を解くには、定数kの範囲を求め、どのようなkの値でこの不等式が成り立つか、または解が存在しないかを調べる必要があります。
2. ① すべての実数について成り立つkの範囲
すべての実数xについて不等式が成り立つためには、2次関数が常に0より大きい必要があります。この条件を満たすためには、判別式を使ってkの範囲を求めます。
まず、2次関数の判別式Δを求めます。判別式が負であれば、2次関数は常に0より大きい値を取ります。具体的な計算を行い、kの範囲を求めます。
3. ② 実数解が存在しないkの範囲
次に、実数解が存在しないようなkの範囲を求めます。これは、判別式が正の値を取らないようにするためです。判別式が負になる場合、実数解が存在しないことになります。
判別式を用いて、kの値を具体的に計算し、解が存在しない範囲を求めます。
4. まとめ
この問題では、2次不等式 kx² + 2x – 3k + 4 > 0 における定数kの範囲を求めました。すべての実数について不等式が成り立つためのkの範囲と、実数解が存在しない範囲を判別式を用いて求めました。定数kの値によって、解の有無や不等式の成立条件が異なることがわかりました。
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