指数法則を利用した計算は、数学の基本的なテクニックです。ここでは、いくつかの複雑な数式を指数法則に従って簡略化する方法を解説します。与えられた数式を計算し、最終的にa^rの形で表現する方法を順を追って説明します。
1. 基本的な指数法則の復習
指数法則を使うと、複雑な数式を簡単に計算することができます。以下は基本的な指数法則です。
- a^m × a^n = a^(m+n)
- (a^m)^n = a^(m×n)
- a^0 = 1 (a ≠ 0)
- a^(-m) = 1/a^m
これらの法則を理解しておくことで、問題を効率的に解くことができます。
2. 与えられた数式を整理する
次に、与えられた数式を順番に整理していきます。例えば、以下の数式を計算します。
- (125/64)^(-2/3)
- 6^(1/2) × 36^(1/4)
- 2^(-1/2) × 2^(5/6) ÷ 2^(1/3)
- (9^(2/3) × 3^(-2))^(2/3)
- {(16/25)^(-3/4)}^(2/3)
- 3√2 × 3√4 × 3√6
- 4√6 × √6 × 4√12
- √6 × 4√54 ÷ 4√6
- 2 × 4√5 + 3 × 4√5
- 3√81 – 3√24
- 4√32 + 4√2 – 4√512
これらの式は、指数法則を利用して簡略化できます。各項に適用し、必要な計算を進めていきます。
3. 指数法則を用いた計算例
まず、いくつかの具体的な例を解いてみます。
例1: (125/64)^(-2/3)
125と64は、それぞれ5^3と4^3ですので、式を次のように書き換えます。
(125/64)^(-2/3) = (5^3 / 4^3)^(-2/3) = (5/4)^(-2) = 16/25
例2: 6^(1/2) × 36^(1/4)
まず、36は6^2ですので、式を次のように書き換えます。
6^(1/2) × 36^(1/4) = 6^(1/2) × (6^2)^(1/4) = 6^(1/2) × 6^(1/2) = 6
例3: 2^(-1/2) × 2^(5/6) ÷ 2^(1/3)
指数法則を使って、同じ底を持つ指数を加減できます。
2^(-1/2) × 2^(5/6) ÷ 2^(1/3) = 2^(-1/2 + 5/6 – 1/3) = 2^(1/3)
4. 複雑な式の計算とa^rの形への変換
次に、与えられた式をa^rの形に変換していきます。例えば、次の式。
- 3√a^2 × 4√a^3
- 4√a^3 × √a ÷ 6√a^5
- a^(3/2) b^(4/3) × a^(-1/2) b^(5/3)
- (a^0 b^(-2))^(3/2)
それぞれに対して、指数法則を適用し、最終的にa^rの形に変換します。具体的な手順を示しながら、計算を進めます。
5. 計算結果と最終的な形
これらの計算を行った結果、各式をa^rの形に変換することができます。例えば、3√a^2 × 4√a^3 は次のように変換できます。
3√a^2 × 4√a^3 = a^(2/3) × a^(3/4) = a^(11/12)
まとめ
この記事では、指数法則を使って与えられた複雑な数式を簡単に計算し、最終的にa^rの形に書き換える方法を解説しました。数学的なテクニックを駆使して、指数法則の適用方法を理解し、問題を解く際の役立つ手順を学びました。
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