不定積分の解法: ∫(x－1)/(x²+2x+2)³ dx の解き方

今回の問題は、不定積分 ∫(x－1)/(x²+2x+2)³ dx の解き方です。これを解くために必要な手順と考え方を解説します。問題を解く際に必要な基本的な積分の知識をおさえながら進めていきますので、ぜひ最後まで読んでください。

1. 問題の設定と積分式

与えられた不定積分は次の形です。

∫(x－1)/(x²+2x+2)³ dx

ここでの目標は、この積分式を解くことです。まずは、この積分式に対して適切な変数変換や積分の方法を考えます。

この積分式は部分分数分解や置換積分が適用できる形ではありませんが、分母の形に着目して変数変換を行います。

分母の x²+2x+2 を見てみると、これは平方完成を行うことで (x+1)²+1 という形になります。これにより、積分が解きやすくなる可能性があります。

積分の手順として、分母を平方完成した式に置き換え、次に適切な置換積分を行います。

ここで x+1 を t とおいて置換積分を行うことで、積分式は簡単に解ける形に変形できます。このように変数変換を行うことで、複雑な積分も解きやすくなります。

変数変換を使って積分を行うと、最終的な結果が得られます。具体的な積分結果は計算の過程で確認してくださいが、このような手順を踏むことで、この種の積分問題を解決することができます。

積分式 ∫(x－1)/(x²+2x+2)³ dx を解くためには、平方完成と変数変換をうまく活用することがポイントです。この方法を使うことで、より複雑な式も解けるようになります。積分の基本を理解し、手順に沿って進めることが解法のカギとなります。