「sin 3t dt = -1/3 cos 3t」とは、積分の問題における結果ですが、なぜこのような答えになるのか、数学的に簡単に解説していきます。積分は、微分の逆操作であり、基本的な三角関数の積分法則に基づいて解くことができます。本記事では、少しでも理解しやすく、初心者の方にも分かりやすいように説明します。
積分の基本的な考え方
積分とは、関数を「累積的に」求める操作です。つまり、微分が関数の変化を調べるのに対し、積分はその累積結果を求めます。積分の結果は、通常、定積分や不定積分の形で表現されます。ここで扱うのは不定積分で、積分の「結果」がどんな形になるかを求める問題です。
具体的には、関数がどれだけの面積を囲むか、または関数がどれくらい変化するかを示すために積分が使用されます。
sin 3tの積分を求める
問題は、関数「sin 3t」の積分です。積分の基本法則に従って、まず「sin x」の積分は「-cos x」であることを思い出しましょう。
しかし、ここでは「sin 3t」が与えられています。ここで、積分のルールを少し拡張して考えます。具体的には、三角関数の中に定数が掛かっている場合、その定数で割る必要があります。ですので、積分の公式は次のようになります。
∫ sin 3t dt = -1/3 cos 3t
なぜ-1/3が必要なのか？
なぜ積分の結果に「-1/3」が含まれるのでしょうか？これは、積分の中で変数が「3t」になっているためです。積分を行う際、変数の係数（この場合は3）を考慮し、その逆数（1/3）を積分結果に掛ける必要があります。
微分の逆操作として、sin(3t)を積分する場合、微分して「3cos(3t)」が出ることを考慮して、積分結果に「1/3」を掛けることで整合性が取れます。このため、積分結果は「-1/3 cos 3t」となります。
まとめ
「sin 3t dt = -1/3 cos 3t」という積分の結果は、三角関数の積分ルールと微分の逆操作に基づいて求められます。具体的には、sin xの積分結果が「-cos x」であることを利用し、定数が掛かっている場合にはその逆数を掛ける必要があります。この場合、3が掛かっているので、積分結果には「-1/3」が含まれることになります。
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