（2x + 1）の5乗の展開式：x^2とx^3の項の係数の求め方

「（2x + 1）の5乗」の展開式におけるx^2とx^3の項の係数を求める方法を解説します。二項定理を使って計算しますので、まずその基本的な計算方法を理解しましょう。

二項定理の復習

二項定理は、(a + b)^n の形の式を展開するための公式です。この定理によると、(a + b)^n の展開式は、次のように表されます。

展開式： (a + b)^n = Σ(k=0 to n) (nCk) * a^(n-k) * b^k

今回の式は (2x + 1)^5 ですので、a = 2x, b = 1, n = 5 です。これを二項定理に当てはめて展開します。

展開式：(2x + 1)^5 = Σ(k=0 to 5) (5Ck) * (2x)^(5-k) * 1^k

それぞれの項を展開すると、次のような式になります。

(2x + 1)^5 = (5C0) * (2x)^5 + (5C1) * (2x)^4 + (5C2) * (2x)^3 + (5C3) * (2x)^2 + (5C4) * (2x)^1 + (5C5) * (2x)^0

次に、x^2とx^3の項を見ていきます。

– x^2の項： (5C3) * (2x)^2 = 10 * 4x^2 = 40x^2

– x^3の項： (5C2) * (2x)^3 = 10 * 8x^3 = 80x^3

「（2x + 1）の5乗」の展開式において、x^2の項の係数は40、x^3の項の係数は80です。この計算方法を理解し、二項定理を使って展開することで、他の同様の問題にも対応できるようになります。