y = x² − 2mx + m² − 4 の最大値問題: mの値を求める方法

この問題では、関数y = x² − 2mx + m² − 4の範囲−1≦x≦1における最大値が0となるようなmの値を求める問題です。今回は、この問題を解く手順を具体的に解説します。

問題の整理

与えられた関数は、y = x² − 2mx + m² − 4です。この関数のxの範囲が−1≦x≦1と与えられており、この範囲でyが最大値0になるmの値を求めます。つまり、関数が−1≦x≦1の範囲内で最大値0を取るとき、mの値を求める問題です。

まず、この関数がどのように変化するかを分析するため、関数を整理してみましょう。

関数y = x² − 2mx + m² − 4は、xの二次関数です。二次関数の最大値または最小値を求めるためには、まずこの関数の頂点を求めます。二次関数の一般形はy = ax² + bx + cですが、ここではa = 1、b = −2m、c = m² − 4です。

頂点のx座標は、x = −b/2aで求められます。ここでは、x = −(−2m) / 2(1) = mとなります。これが関数の頂点のx座標です。

次に、この頂点x = mを関数に代入して、yの最大値を求めます。関数にx = mを代入すると、y = m² − 2m(m) + m² − 4 = m² − 2m² + m² − 4 = −4です。

この値は、x = mのときのyの値です。しかし、問題は−1≦x≦1の範囲でyが最大値0を取るときのmの値を求めることです。

yが最大値0を取るためには、xの範囲−1≦x≦1でy = 0となるようなmの値を求める必要があります。すなわち、関数の中でyが0になるxの値を求め、それに対応するmを算出します。

ここでは、y = 0となるxの値を代入して、mを求めます。その結果、m = 2という値が得られます。したがって、y = 0となるためにはm = 2が必要であることがわかります。

この問題において、関数y = x² − 2mx + m² − 4が−1≦x≦1の範囲で最大値0を取るためには、mの値は2であることがわかりました。

このように、問題を整理し、関数の最大値や最小値を求めるために必要な計算を行うことで、mの値を正確に求めることができます。