数学の漸化式において、ある初期値から次の項を求めていく方法を学ぶことは非常に重要です。ここでは、a1=-1 のとき、an+1=an+2•3^n-1 の漸化式を解く方法についてステップバイステップで解説します。
漸化式の整理
まず、与えられた漸化式を整理しましょう。漸化式は次のようになっています。
a₁ = -1
an+1 = an + 2 * 3^(n-1)
この式は、次の項（an+1）が前の項（an）と、定数項2と3のべき乗の積に基づいて計算されることを示しています。
初期条件を使って最初の項を求める
まず、初期条件 a₁ = -1 を使って最初の項を求めます。
a₁ = -1
次に、a₂ を求めるために、漸化式を使います。
a₂ = a₁ + 2 * 3^(2-1) = -1 + 2 * 3 = -1 + 6 = 5
次の項を計算する
次に、a₃ を求めてみましょう。同様に、漸化式を使って計算します。
a₃ = a₂ + 2 * 3^(3-1) = 5 + 2 * 9 = 5 + 18 = 23
次に a₄ を求めると。
a₄ = a₃ + 2 * 3^(4-1) = 23 + 2 * 27 = 23 + 54 = 77
漸化式を使った計算のまとめ
このようにして、漸化式を使って次の項を計算していくことができます。漸化式を繰り返し使うことで、任意のnに対する項を求めることができます。
一般的な解法と公式
今回の漸化式では、次の項が前の項と一定の規則に基づいて決まるため、特定のパターンが見えてきます。このような漸化式は、一般的に連立方程式や数列を使って解くことができます。
例えば、このような漸化式を解くために、数式を展開したり、数学的帰納法を使用して一般的な式を導くことができる場合もあります。
まとめ
漸化式を解くためには、まず初期条件を利用して最初の項を求め、その後、漸化式を繰り返し使用して次の項を計算していきます。今回のように、a₁=-1 のときの漸化式 an+1=an + 2•3^(n-1) では、初期値から順を追って計算することで解を求めることができます。漸化式の解法に慣れると、さまざまな数列や連立方程式の解法に役立てることができます。
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