Γ(z)Γ(1-z)=π/sinπzの証明方法

この式、Γ(z)Γ(1-z)=π/sinπzは、ガンマ関数の重要な恒等式の一つです。特に、ガンマ関数は数値解析や積分、確率論など多くの数学的分野で頻繁に現れます。この証明は、場合分けを行い、条件ごとに異なる方法で進める必要があります。以下では、zが実数で0

(1) zが実数で0

まず、ガンマ関数Γ(z)は以下のように定義されます：
Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z-1) e^(-t) dt, z > 0
この定義を基に、Γ(z)Γ(1-z)がπ/sin(πz)になることを証明するために、積分の変換を利用します。具体的には、以下の積分変換を用います。

ここで重要なのは、ガンマ関数の性質を利用して、積分の変換を行い、最終的にπ/sin(πz)という形に収束することを示すことです。

次に、zが0

Γ(z)Γ(1-z) = π / sin(πz), z ≠ 0, ±1, ±2, …

この公式を使って、適切な場合分けを行い、式が成り立つことを確認します。特に、zが整数である場合、Γ(z)は無限大になるため、極限を取る際の注意が必要です。

ガンマ関数Γ(z)とその関数的性質について理解を深めることが、この証明を進める上で重要です。また、積分変換や留数定理など、数学の基礎的な理論を応用することも理解を助けます。最終的に、Γ(z)Γ(1-z) = π / sin(πz)が成り立つことが証明されます。

Γ(z)Γ(1-z) = π / sin(πz)という恒等式は、ガンマ関数の性質を駆使して証明することができます。場合分けを行い、それぞれの範囲における特性を踏まえたアプローチを取ることが鍵となります。このような証明に慣れることで、ガンマ関数や他の特殊関数に関する理解も深まります。