複素関数の極と正則性：f(z)の形を示す方法

複素関数f(z)が与えられた条件に従うとき、その関数の形がどのようになるかを示す問題です。ここでは、f(z)が|z|<=∞でz=1（位数m）、∞を極（位数n）に持ち、それ以外で正則であるという条件のもと、f(z)がどのように表されるかを証明します。

問題の背景と解説

与えられた条件に基づいて、f(z)の解析的な性質を理解することが重要です。f(z)が「正則」であるとは、f(z)が複素平面上で連続的に微分可能であることを意味します。また、f(z)が特定の点で「極」を持つということは、f(z)がその点で発散する性質を持っていることを示します。

f(z)の形を導くためには、まずf(z)を2つの部分に分けます。1つは無限遠で発散する部分で、もう1つはz=1で発散する部分です。これに基づいて、次のような形を得ます。

f(z) = ∑[k=1,n] ak z^k + Σ[k=1,m] bk / (z-1)^k（ak, bk ≠ 0）

f(z)がz=1で極を持つ場合、f(z)は(z-1)の累乗で表される項を含みます。これが「z=1での極（位数m）」に対応し、この部分が級数の形で表現されます。

f(z)が無限遠で極を持つ場合、この極は無限遠で発散する特性を示す項として現れます。この部分は、無限遠の振る舞いを示すべく、z^kの形で表現される級数になります。

このようにして、f(z)はz=1で極を持つ部分と無限遠で極を持つ部分に分解できます。正則な部分は、それらの間での複素数変数zに対する通常の連続性と微分可能性を保ちつつ、与えられた条件に基づく適切な形にまとめられます。