この問題では、赤玉3個と白玉2個が入った袋から玉を2回引く実験に基づいて、2回目に取り出した玉が赤玉である確率を求める問題です。まずは問題の設定を整理し、確率を求める方法を詳しく解説します。
問題の整理
最初に、袋には赤玉3個と白玉2個が入っています。次の操作を行います。
- ①袋から玉を1個取り出す（袋に戻さない）。
- ②取り出した玉が赤玉なら、その玉を袋に戻し、白玉を1個袋に追加する。取り出した玉が白玉なら、その玉を袋に戻し、赤玉を1個袋に追加する。
- ③その後、再び袋から玉を1個取り出す。
このとき、「2回目に取り出した玉が赤玉である確率」を求めます。問題のポイントは、最初に取り出した玉の種類によって次の袋の中身が変化することです。
条件に基づく確率の計算
最初に玉を引いたとき、赤玉が出る確率は3/5、白玉が出る確率は2/5です。この情報を使って、2回目に赤玉が出る確率を順を追って計算します。
ケース1：最初に赤玉が出た場合
最初に赤玉を引いた場合、袋に戻して白玉を1個追加します。袋の中身は赤玉3個と白玉3個になります。次に、袋から玉を引くとき、赤玉が出る確率は3/6＝1/2です。
ケース2：最初に白玉が出た場合
最初に白玉を引いた場合、袋に戻して赤玉を1個追加します。袋の中身は赤玉4個と白玉2個になります。次に、袋から玉を引くとき、赤玉が出る確率は4/6＝2/3です。
確率の合成
最初に赤玉が出た場合と白玉が出た場合の確率を加算するために、それぞれのケースにおける確率を考慮します。
最初に赤玉が出る確率は3/5、その後赤玉が出る確率は1/2です。
最初に白玉が出る確率は2/5、その後赤玉が出る確率は2/3です。
したがって、2回目に赤玉が出る確率は次のように計算できます。
確率 = (3/5 × 1/2) + (2/5 × 2/3) = 3/10 + 4/15 = 9/30 + 8/30 = 17/30
結論
2回目に赤玉が出る確率は17/30、つまり約0.5667、または56.67%です。
まとめ
この問題では、最初に取り出した玉の種類によって袋の中身が変化するため、確率をケースごとに分けて計算する必要がありました。赤玉が出る確率は約56.67%であることがわかりました。このような確率計算の方法は、条件付き確率を求める際に非常に役立ちます。
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