この問題は、実数 t に関する直線の方程式と、点 P の軌跡を求める問題です。具体的には、点 P が直線 L 上にあることを示し、t の定まる理由を理解することが重要です。この記事では、その解法の流れとともに、問題の背景やポイントを詳しく解説します。
問題の設定と方程式の理解
まず、問題で与えられた直線 L の方程式は、y = 2tx – t^2 です。ここで、t は直線 L の傾きを決定するパラメータです。点 P はこの直線上の一つの点として考えます。したがって、点 P(X, Y) はこの方程式を満たす必要があります。
代入して得られる方程式は、Y = 2tX – t^2 となり、これが直線 L 上の点 P に関する方程式です。
なぜtは一意に定まるのか？
次に、「点 P を通る直線 L はただ一つ」という条件に注目します。この条件は、t に対応する直線がただ一つであることを意味します。なぜなら、直線の方程式において t の値が確定すると、その直線は一意に決まるからです。
方程式 Y = 2tX – t^2 を t について解くと、これは二次方程式 t^2 – 2Xt + Y = 0 になります。この二次方程式が「ただ一つの解」を持つためには、判別式がゼロでなければなりません。判別式 D がゼロのとき、t の解は一意であり、この条件から点 P の軌跡が得られます。
判別式の計算と結論
判別式 D は次のように求められます。
D = (2X)^2 – 4(1)(Y) = 4X^2 – 4Y
これがゼロになるとき、すなわち X^2 = Y となります。これにより、点 P の軌跡は放物線 Y = X^2 であることがわかります。
応用問題の解き方：最小の正の実数 a の求め方
次に、命題「x^2 + y^2 + z^2 ≦ a ならば x + y + z ≦ a 」が真となる最小の正の実数 a を求める問題について説明します。
まず、与えられた不等式 x^2 + y^2 + z^2 ≦ a の条件をもとに、(x + y + z)^2 ≦ 3(x^2 + y^2 + z^2) ≦ 3a という関係を導きます。これにより、(x + y + z)^2 ≦ 3a が成り立ち、最終的に x + y + z ≦ √(3a) が得られます。この不等式から、最小の a が 3 であることが確認できます。
まとめ
この問題では、点 P の軌跡を求めるために、直線 L 上での条件を使い、t の解が一意に定まることを理解しました。その後、判別式を使って軌跡が放物線であることを示しました。数学的な証明の重要性を理解し、他の問題にも応用できるスキルを養うことができます。
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