数列の一般項を求める方法について解説します。この問題では、与えられた数列「2, 3, 6, 11, 18…」における一般項を求めます。数列のパターンを見つけて、適切な式を導き出すための手順を詳しく見ていきましょう。
1. 数列の確認
与えられた数列は「2, 3, 6, 11, 18…」です。最初に、この数列がどのようなルールで増加しているかを確認することが大切です。数列が一定の差で増加していないため、まずは差分を調べてみます。
2. 数列の差分を求める
数列の差分を求めてみましょう。
- 3 – 2 = 1
- 6 – 3 = 3
- 11 – 6 = 5
- 18 – 11 = 7
差分は「1, 3, 5, 7…」であり、これらは等差数列になっています。このことから、元の数列は2次の数列であると推測できます。
3. 2次数列の一般項を求める
等差数列の差が一定であることから、元の数列は2次の数列の形で表されます。2次数列の一般項は次のような形をしています。
an = An² + Bn + C
ここで、A、B、Cは定数です。与えられた数列の最初の3項を使って、A、B、Cを求めます。
4. 定数A, B, Cを求める
最初の3項を使って連立方程式を立てます。
- a1 = A(1)² + B(1) + C = 2
- a2 = A(2)² + B(2) + C = 3
- a3 = A(3)² + B(3) + C = 6
この連立方程式を解くと、A = 1, B = 0, C = 1が得られます。
5. 一般項の式
したがって、この数列の一般項は次のようになります。
an = n² + 1
6. まとめ
与えられた数列「2, 3, 6, 11, 18…」の一般項は、an = n² + 1 です。このように、数列の差分を調べることで、2次数列の一般項を導き出すことができます。今後、他の数列に対しても同様の手順で解法を進めていくことができるでしょう。
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