√3が無理数であることの証明とその理解

今回は、√3が無理数であることを証明する方法について解説します。この証明は、無理数に関する基本的な考え方を理解するために重要です。

無理数とは？

無理数とは、整数や分数で表すことができない実数のことです。例えば、√2や√3は無理数として知られています。これに対し、整数や分数で表せる実数は有理数と呼ばれます。

√3が無理数であることを証明するために、まず「√3が有理数である」と仮定します。その後に矛盾が生じることを示す方法を取ります。

1. √3を有理数であると仮定し、√3 = n/mと表現します（mは自然数、nは整数で、mとnは互いに素）。

2. 両辺を2乗して、3 = n²/m²となります。これを変形して、3m² = n²とします。

3. この式から、n²が3の倍数であるため、nも3の倍数であることがわかります。したがって、n = 3kとおけます（kは整数）。

4. このn = 3kを式に代入すると、3m² = 9k²となり、m² = 3k²が得られます。

5. ここで、m²も3の倍数であるため、mも3の倍数であることがわかります。

6. しかし、mとnが両方とも3の倍数であるならば、mとnは互いに素でないことになり、仮定に反します。

したがって、最初に「√3が有理数である」という仮定が間違っていたことがわかります。これにより、√3は無理数であることが証明されました。

この証明の重要なポイントは、矛盾を導くことで無理数であることを示す方法です。√3が無理数であることを証明することは、無理数や有理数の基本的な性質を理解するための一歩となります。