y=x²-2x+2 の最小値を求める方法 | kの範囲による最小値の変化

与えられた二次関数 y = x² - 2x + 2 の最小値を求める方法を解説します。具体的には、範囲 k ≦ x ≦ k+2 における最小値を、0 ≦ k ≦ 1 と 1 < k の場合に分けて説明します。

最初に関数を整理する

関数 y = x² - 2x + 2 を次のように整理できます。

y = (x - 1)² + 1

この形にすることで、グラフの頂点が (1, 1) であることがわかります。この頂点は、この関数の最小値を表します。

範囲が 0 ≦ k ≦ 1 のとき、x の範囲は 0 ≦ x ≦ 3 となります。

この範囲内では、最小値は x = 1 で得られます。すなわち、y = (1 - 1)² + 1 = 1 です。

範囲が 1 < k の場合、x の範囲は k ≦ x ≦ k + 2 で、最小値は y = (x - 1)² + 1 の式に基づいて決まります。

この場合、最小値は x = k で得られます。このとき、y = (k - 1)² + 1 となり、k の値に依存した最小値が得られます。

与えられた関数に対して、範囲が 0 ≦ k ≦ 1 の場合には最小値が 1 であり、1 < k の場合には最小値は k に依存して変動します。二次関数の最小値を求める際は、式を整理し、頂点を求めることが重要です。