なぜ差分商が無限大の極限を持つと接線が垂直になるのか？

この質問では、関数 ƒ が点 x = a において導関数を得る際に使用する差分商が無限大の極限を持つ場合、その点での接線が垂直線になる理由についての解説を求めています。まず、導関数と接線、そして無限大の極限がどのように関係するのかについて詳しく説明していきます。

1. 導関数と接線の関係

関数 ƒ の導関数 f'(a) は、点 x = a における接線の傾きを表します。導関数を求めるためには、次の差分商の極限を計算します。

f'(a) = lim (h -> 0) [ƒ(a + h) – ƒ(a)] / h

差分商の極限が無限大であるとは、h を0に近づけたときに、[ƒ(a + h) – ƒ(a)] / h が非常に大きな値になることを意味します。これは、点 x = a において関数が急激に変化していることを示します。例えば、関数のグラフが垂直に近づいている場合、その接線の傾きは無限大となります。

接線の傾きが無限大に達する場合、その接線は垂直線になります。なぜなら、傾きが無限大に近づくと、直線が水平方向に対して垂直に引かれるためです。具体的には、接線の傾きが無限大に達するということは、直線が y 軸に平行になることを意味します。

関数の導関数を求める差分商が無限大の極限を持つとき、その点での接線は垂直になる理由は、関数がその点で急激に変化し、接線の傾きが無限大となるからです。これは数学的な直感にも合致しており、微分の基本的な性質の一つです。