袋の中に赤玉5個、白玉4個が入っている場合に、1回取り出して色を確認し、それを元に戻す試行を3回繰り返す時、赤玉がちょうど2回出る確率を求める問題です。この記事では、この確率を求めるための途中式とともに、確率の計算方法をわかりやすく解説します。
問題の理解：試行の設定
まず、この問題の状況を整理しましょう。袋の中には赤玉5個と白玉4個、計9個の玉が入っています。取り出した玉を元に戻すので、各試行は独立しています。そして、試行は3回行われ、そのうち2回が赤玉が出る確率を求めます。
赤玉が出る確率は、袋の中に赤玉が5個あるので、赤玉が出る確率は5/9です。また、白玉が出る確率は白玉4個なので、4/9となります。
確率の計算：二項分布を使う
この問題は、独立した試行で「成功（赤玉が出る）」または「失敗（白玉が出る）」の2つの結果がある場合の確率です。このような問題には、二項分布を用いて計算します。
二項分布の確率は次の式で求められます。
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
ここで、
- C(n, k)はn回の試行からk回の成功を選ぶ組み合わせの数
- pは成功の確率
- nは試行回数
- kは成功回数
途中式の計算
この問題では、n = 3（試行回数）、k = 2（赤玉が出る回数）、p = 5/9（赤玉が出る確率）です。これらを二項分布の式に代入して計算します。
P(X = 2) = C(3, 2) * (5/9)^2 * (4/9)^1
C(3, 2)は3回の試行から2回の成功を選ぶ組み合わせの数です。計算するとC(3, 2) = 3となります。これを式に代入すると。
P(X = 2) = 3 * (5/9)^2 * (4/9)^1
P(X = 2) = 3 * (25/81) * (4/9)
P(X = 2) = 3 * 100 / 729
P(X = 2) = 300 / 729
したがって、赤玉がちょうど2回出る確率は300/729、または約0.411（約41.1%）となります。
まとめ
この問題を解くためには、まず問題設定を理解し、その後二項分布を用いて確率を計算しました。赤玉が出る確率を求めるために、組み合わせの数と確率の法則を適用することで、正しい結果を得ることができました。これにより、袋から赤玉がちょうど2回出る確率は300/729、約41.1%であることがわかりました。
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